Gambler's ruin uitgelegd: overleef de beurs met edge

Geschreven door Harmen van Wijk, oprichter van Beleggen.com

Een gokker die aan een Amerikaanse roulettetafel met €100 begint en steeds €1 op rood zet, heeft minder dan 1 op 37.648 kans om €100 winst te pakken voordat hij blut is. Dat heet gambler's ruin, vrij vertaald de ondergang van de gokker, en het is gewoon wiskunde. Het venijnige deel komt daarna, want ook als diezelfde gokker met €1 miljoen aan tafel gaat zitten, blijft zijn kans op die €100 winst vrijwel even klein.

Het klinkt als iets voor casinobazen en kansrekenaars, maar voor jou als belegger zegt dit probleem in ieder geval meer over je portefeuille dan welk kwartaalcijfer ook. Jij begint namelijk ook met een eindig kapitaal, je neemt beslissingen met een onzekere uitkomst en er bestaat een niveau waaronder je niet verder kunt of wilt.

In mijn verdiepingstraining Het spel dat je echt speelt, die ik samen met Harry Klip gaf, begonnen we daarom niet bij de beurs maar in een collegezaal van MIT. Officieel ging het daar over wiskunde. In de praktijk ging het over hoe je lang genoeg in het spel blijft om je statistische voordeel te laten werken.

Daar draait dit artikel om. Niet welk aandeel morgen stijgt, maar hoe jij ervoor zorgt dat je er overmorgen nog bij bent.

Wat is het gambler's ruin probleem?

Professor Tom Leighton is niet de eerste de beste. Hij is hoogleraar toegepaste wiskunde aan MIT en medeoprichter van Akamai Technologies, het bedrijf dat een flink deel van het internetverkeer afhandelt. In zijn college over random walks, les 25 uit de cursus Mathematics for Computer Science uit het najaar van 2010, behandelt hij dit klassieke probleem.

Dat college staat gratis op MIT OpenCourseWare, dus je kunt het zelf terugkijken. Ik raad je niet aan om het als avondvermaak te zien, want er staan formules op het bord. Maar de les die erin zit, is voor beleggers goud waard.

De opzet is simpel. Je begint met een startkapitaal van bijvoorbeeld €100 en je zet elke ronde €1 in. Met een bepaalde kans win je die euro, en met de resterende kans ben je hem kwijt.

Je stopt zodra je je winstdoel haalt, bijvoorbeeld €200. Of je stopt onherroepelijk zodra je op nul staat. Meer regels zijn er niet.

Die nul is geen gewone grens. Wiskundigen noemen het een absorberende grens, omdat er na die grens geen herstel meer mogelijk is. Wie op nul staat, is uit het spel, zonder volgende ronde en zonder revanche.

"Wie op nul staat, is uit het spel. Dat is geen pech, dat is de regel."

Goed, dan de cijfers. Bij Amerikaanse roulette heb je 18 rode vakjes op een totaal van 38, waardoor je kans op winst per ronde ongeveer 47,4% is. Dat voelt bijna als een eerlijke munt, maar Leighton rekent voor dat je met dat kleine nadeel minder dan 1 op 37.648 kans hebt om €100 winst te maken voordat je €100 kwijt bent.

Bij een eerlijk spel met precies 50% kans ziet het er heel anders uit. Dan is je kans om je €100 te verdubbelen gewoon 50%. Een verschil van nog geen drie procentpunt per ronde maakt van een redelijke gok dus een vrijwel zekere ondergang.

En dan de verrassing die Leighton zijn studenten meegeeft. Bij een spel met een nadeel hangt je kans op succes nauwelijks af van je startkapitaal, maar vooral van hoeveel winst je wilt pakken. Of je nu met €100 of met €1 miljoen begint, je kans om €100 winst te maken blijft rond die 1 op 37.648 hangen.

Meer geld meenemen lost een slecht spel niet op.

Kijk, en hier wordt het interessant voor jou. Jouw situatie als belegger is wiskundig hetzelfde type probleem. Het verschil tussen een gokker en een belegger zit volgens mij niet in de structuur van het spel, maar in drie variabelen.

• Je voordeel, oftewel je edge. Liggen de kansen per saldo in jouw voordeel of in dat van de tegenpartij.
• De verhouding tussen winst en verlies. Hoeveel verdien je gemiddeld op een winnaar tegenover wat je kwijtraakt op een verliezer.
• Je inzet per keer. Welk deel van je kapitaal riskeer je per positie.

Op de eerste twee heb je invloed via je strategie. Over de derde heb je volledige controle, en juist daar gaat het bij de meeste beleggers mis. Daar kom ik verderop uitgebreid op terug.

Is de beurskoers een random walk? Swings en drift uitgelegd

In 1973 schreef de Amerikaanse econoom Burton Malkiel een boek dat beleggers decennialang heeft beziggehouden. In A Random Walk Down Wall Street stelde hij dat een geblinddoekte aap die pijltjes op de beurspagina gooit, een portefeuille kan samenstellen die het net zo goed doet als die van de experts. Leuk voor de aap, minder leuk voor de experts.

Een random walk is een waarde die per stap omhoog of omlaag beweegt, zonder dat je vooraf weet welke kant het opgaat. Het kapitaal van een gokker is een random walk. De koers van een aandeel lijkt daar op korte termijn sterk op, en dat herken je vast wanneer je naar een grafiek met dagkoersen kijkt.

Maar volledig willekeurig is de beurs niet. Andrew Lo van MIT en Craig MacKinlay lieten in hun boek A Non-Random Walk Down Wall Street uit 1999 zien dat koersbewegingen patronen bevatten die niet passen bij een pure random walk. Daarmee kreeg de random walk theorie een flinke deuk.

Narasimhan Jegadeesh en Sheridan Titman toonden in 1993 bovendien aan dat aandelen die de afgelopen drie tot twaalf maanden goed presteerden, dat in de maanden erna gemiddeld bleven doen. Dat effect heet momentum en behoort tot de best gedocumenteerde patronen uit de financiële wetenschap. Dat is niet mijn mening, dat zijn de feiten.

Leighton maakt in zijn college een onderscheid dat ik iedere belegger zou willen meegeven. In elke random walk werken twee krachten, namelijk swings en drift. Swings zijn de zichtbare, emotionele schommelingen omhoog en omlaag, terwijl drift de onderliggende richting is die per stap een klein beetje meetelt.

Wiskundig groeit de drift evenredig met het aantal stappen, terwijl de swings alleen groeien met de wortel van het aantal stappen. Neem een spel waarin je 50,5% kans hebt om te winnen, wat neerkomt op gemiddeld 1 cent voordeel per ingezette euro. Na 10.000 rondes is je drift ongeveer even groot als de swings, maar na een miljoen rondes is de drift al tien keer zo groot.

Kijk, op korte termijn domineren de swings. Daarom voelt de beurs vaak als ruis en daarom raken zoveel beleggers in paniek na een slechte week. Op lange termijn wint de drift het van de swings, mits je lang genoeg meedoet.

Goed, wat betekent dat in euro's. Neem een belegger met €250.000 die een strategie volgt met een positieve drift van gemiddeld 8% per jaar. Na 20 jaar staat er ruim €1,16 miljoen op zijn rekening, een groei met een factor 4,66 en dus ruim €915.000 aan winst.

Dat is veel geld.

Nu de keerzijde. Draai de drift om naar een gemiddeld verlies van 5% per jaar, en dezelfde €250.000 is na 20 jaar geslonken tot bijna €90.000. Ruim €160.000 is verdampt, niet in één klap maar gestaag, jaar na jaar.

Zo werkt de gambler's ruin in de praktijk. Het is net als een bekertje met gaatjes, want hoe hard je ook rent, er lekt altijd wat weg. En jij maar rennen met je bekertje, terwijl de bodem steeds dichterbij komt.

"Op korte termijn bepalen de swings hoe je je voelt. Op lange termijn bepaalt de drift wat je overhoudt."

Edge in trading en waarom herhaling versterkt wat je hebt

Een casino hoeft geen geluk te hebben. Een casino hoeft alleen maar open te blijven. Met een voordeel van ruim 5% op Amerikaanse roulette en duizenden inzetten per avond verdient het huis gewoon zijn geld, ook als er af en toe een gast de bank laat springen.

Dat is het tweede deel van de training, en volgens mij de meest onderschatte les uit het hele college. Herhaling versterkt wat je hebt. Heb je een voordeel, dan werkt elke extra beslissing voor je, en heb je geen voordeel, dan werkt elke extra beslissing tegen je.

Veel beleggers denken dat meer handelen meer kansen oplevert. Dat klopt alleen wanneer je een aantoonbare edge in trading hebt. Zonder die edge is een hoge handelsfrequentie gewoon een snellere route naar de absorberende grens, omdat je dan het spel van de roulettespeler speelt en niet dat van het casino.

Daar komen de kosten nog bij. Elke transactie kost je spread en commissie, waardoor je drift verder richting het negatieve schuift. Een strategie met een flinterdun voordeel op papier kan na kosten zomaar een strategie met een nadeel blijken.

Brad Barber en Terrance Odean onderzochten de rekeningen van ruim 66.000 Amerikaanse huishoudens. In hun paper Trading Is Hazardous to Your Wealth uit 2000 lieten ze zien dat de groep die het meest handelde een netto rendement van 11,4% per jaar haalde, terwijl de markt in dezelfde periode 17,9% opleverde. Dat is geen kleine afwijking, dat is leergeld betalen op grote schaal.

Nou zou je kunnen denken dat de oplossing simpel is. Gewoon niet meedoen, dan kun je ook niet op nul eindigen. Helaas werkt dat niet, want ook buiten het spel tikt er een klok die tegen je werkt.

Wanneer je €250.000 op een spaarrekening zet tegen 2% rente, heb je na 15 jaar ongeveer €336.500. Met een strategie die gemiddeld 8% per jaar oplevert, staat er na diezelfde 15 jaar ruim €793.000. Dat verschil van ruim €456.500 laat je liggen wanneer je uit angst voor ruïne helemaal niet speelt.

En dan heb ik het nog niet eens over inflatie gehad. Bij een gemiddelde inflatie van 2,5% verliest €250.000 die stil op een rekening staat in 20 jaar bijna 40% van zijn koopkracht. In koopkracht houd je dan nog maar ruim €150.000 over, waardoor je vermogen ook krimpt als je niets doet, alleen langzamer en minder zichtbaar.

Scenario	Startbedrag	Looptijd	Uitkomst
Positieve drift van 8% per jaar	€250.000	20 jaar	ruim €1,16 miljoen
Negatieve drift van 5% per jaar	€250.000	20 jaar	bijna €90.000
Sparen tegen 2% rente	€250.000	15 jaar	ongeveer €336.500
Beleggen tegen 8% per jaar	€250.000	15 jaar	ruim €793.000
Niets doen bij 2,5% inflatie	€250.000	20 jaar	ruim €150.000 aan koopkracht

De les is dus tweeledig. Je wilt meedoen, want buiten het spel verlies je ook. En je wilt overleven, want op nul is het spel voorbij.

Wat dat betreft is er weinig nieuws onder de zon. Bijna een eeuw geleden schreef George Clason al dat je je goud moet laten groeien én moet beschermen tegen verlies, en ik heb uitgebreid beschreven waarom De Rijkste Man van Babylon nog altijd gelijk heeft. Gambler's ruin is in feite de wiskundige onderbouwing van die oude wijsheid.

Kun je met een laag trefpercentage toch winstgevend beleggen?

Op verjaardagen hoor ik het regelmatig. Iemand vertelt trots dat acht van zijn tien trades winstgevend zijn. Ik vraag dan altijd hoeveel hij verdient op die acht en hoeveel hij verliest op die twee, en op dat moment wordt het vaak even stil aan de koffietafel.

Een hoog trefpercentage zegt namelijk bijna niets. Wat telt is de verwachtingswaarde, oftewel wat je gemiddeld per trade verdient wanneer je alle winnaars en verliezers bij elkaar optelt. Dat is het derde deel van de training, en het zet de intuïtie van veel beleggers volledig op zijn kop.

De berekening is eenvoudiger dan je denkt. Je vermenigvuldigt je trefpercentage met je gemiddelde winst, en daar trek je je verliespercentage maal je gemiddelde verlies vanaf.

Verwachtingswaarde = (trefpercentage × gemiddelde winst) min (verliespercentage × gemiddeld verlies)

Goed, dan twee beleggers naast elkaar. Belegger A wint op 40% van zijn trades, belegger B op 80%. Op het eerste gezicht lijkt B de betere belegger, maar kijk wat er gebeurt wanneer je de bedragen erbij pakt.

Kenmerk	Belegger A	Belegger B
Trefpercentage	40%	80%
Gemiddelde winst per winnaar	€3.000	€500
Gemiddeld verlies per verliezer	€1.000	€2.500
Verwachtingswaarde per trade	€600 winst	€100 verlies
Verwacht resultaat na 100 trades	€60.000 winst	€10.000 verlies

Belegger B wint vaker, voelt zich beter en gaat toch langzaam failliet. Belegger A verliest zes van de tien keer en bouwt ondertussen gestaag vermogen op. Dat is gewoon zo, hè, want wiskunde trekt zich niets aan van hoe het voelt.

Belegger B is ook geen verzonnen karikatuur. Hersh Shefrin en Meir Statman beschreven in 1985 het disposition effect, de neiging van beleggers om winnaars te snel te verkopen en verliezers te lang vast te houden. Een kleine winst pakken voelt goed, terwijl een verlies nemen voelt als falen.

Het gevolg laat zich raden. Je krijgt een portefeuille vol kleine winsten en een paar grote verliezen die alles weer wegvreten. Vergelijk het met een ondernemer die elke maand een paar kleine klanten binnenhaalt, maar één keer per jaar een grote debiteur ziet omvallen waardoor de hele jaarwinst weg is.

Trendvolgende strategieën werken precies andersom. Je accepteert dat je vaak een klein verlies neemt, omdat een trend niet doorzet. Maar wanneer een trend wel doorzet, laat je de winst lopen, waarbij die enkele grote winnaar alle kleine verliezen ruimschoots terugbetaalt.

Veel trendvolgende systemen winnen op minder dan de helft van hun trades en zijn juist daardoor op lange termijn winstgevend. Tobias Moskowitz, Yao Hua Ooi en Lasse Pedersen toonden in 2012 aan dat dit soort tijdreeksmomentum werkte in 58 verschillende markten, van aandelenindices tot grondstoffen en valuta. Wil je weten welke aanpak bij jou past, dan kan het helpen om de zeven bewezen beleggingsmethoden naast elkaar te leggen.

"Een hoog trefpercentage voelt als winnen. Een positieve verwachtingswaarde is winnen."

Hoe groot mag een positie zijn om een verliesreeks te overleven?

Ik heb in ruim twintig jaar beleggen veel slimme mensen leergeld zien betalen. Zelden omdat ze een slechte strategie hadden. Meestal omdat ze een goede strategie met een veel te grote inzet speelden, waardoor één slechte reeks genoeg was om ze uit het spel te gooien.

Dit is het vierde en laatste deel van de training, en voor mij het meest praktische. Een positieve verwachtingswaarde garandeert namelijk niet dat je overleeft. Ook met een uitstekende strategie komt er een moment waarop je tien keer achter elkaar verliest.

Bij een trefpercentage van 40% is de kans dat tien opeenvolgende trades allemaal verliezen ongeveer 0,6%. Dat klinkt klein, maar wie honderden trades doet, komt zo'n reeks vroeg of laat gewoon tegen. Bij 500 trades ligt de langste verliesreeks die je statistisch mag verwachten rond de tien.

Het gaat dus niet om de vraag of die reeks komt, maar wat hij met je kapitaal doet. Dat hangt volledig af van hoeveel je per positie riskeert. Kijk wat er met €100.000 gebeurt na tien verliezen op rij.

Risico per positie	Resterend kapitaal na 10 verliezen op rij	Totaal verlies	Benodigde winst voor herstel
1%	€90.438	9,6%	10,6%
2%	€81.707	18,3%	22,4%
5%	€59.874	40,1%	67,0%
10%	€34.868	65,1%	186,8%
25%	€5.631	94,4%	ruim 1.600%

Kijk, het verschil tussen de bovenste en de onderste rij is het verschil tussen een vervelende periode en het einde van je beleggingscarrière. Met 1% risico per positie ben je na tien verliezen op rij 9,6% kwijt, wat je herstelt met een winst van 10,6%. Met 25% risico per positie heb je ruim 1.600% nodig om terug te komen.

Dat haal je in de praktijk niet. Op dat moment heb je de absorberende grens bereikt, ook al staat er technisch nog geld op je rekening. Dit is de kans op ruïne in zijn meest tastbare gedaante, en in het Engels heet dit begrip niet voor niets risk of ruin.

Wiskundig bestaat er een bovengrens voor je inzet. In 1956 publiceerde John Kelly, onderzoeker bij Bell Labs, een formule die berekent welk deel van je kapitaal je per keer kunt inzetten voor de snelste groei op lange termijn. Edward Thorp paste die formule later toe aan de blackjacktafel en daarna op de beurs, en beschreef zijn aanpak in Beat the Dealer.

Voor belegger A uit het vorige voorbeeld, met 40% winnaars en winsten die drie keer zo groot zijn als de verliezen, komt het Kelly criterium uit op 20% van het kapitaal per positie. Dat lijkt royaal, maar de volledige Kelly inzet geeft enorme schommelingen en gaat uit van een perfect bekende edge. In de praktijk ken je je edge nooit precies, waardoor professionals vaak met een fractie van Kelly werken of met een vast risico van 1% tot 2% per positie.

Let daarbij goed op het verschil tussen positiegrootte en risico per positie. Wanneer je €10.000 in een aandeel stopt met een stoploss op 10% onder je aankoopkoers, riskeer je €1.000. Bij een vermogen van €100.000 is dat 1% risico, terwijl de positie zelf 10% van je portefeuille beslaat.

Een veelgebruikte werkwijze om je positiegrootte te bepalen bestaat uit vier stappen.

1. Kies je maximale risico per positie als percentage van je totale vermogen, bijvoorbeeld 1%.
2. Leg vast waar je stoploss ligt op basis van het koersverloop, niet op basis van wat je hoopt.
3. Deel je maximale risico in euro's door de afstand tot je stoploss, zodat je weet hoe groot je positie mag zijn.
4. Toets de uitkomst aan een reeks van tien verliezen op rij, waarmee je zeker weet dat je die reeks overleeft.

Een rekenvoorbeeld maakt het concreet. Bij een vermogen van €200.000 en 1% risico mag je per positie €2.000 verliezen. Ligt je stoploss 8% onder je instapkoers, dan komt je positie uit op €25.000, en zo houd je de schade van elke afzonderlijke vergissing beheersbaar.

En daar zit de kans. Je hoeft niet slimmer te zijn dan de markt om te overleven, je hoeft alleen je inzet in de hand te houden.

Wat Berkshire Hathaway ons leert over de kans op ruïne

Als er één belegger is met een bewezen edge, dan is het Warren Buffett wel. Toch schreef juist hij in zijn brief aan de aandeelhouders van Berkshire Hathaway over het jaar 2017 een passage die je eigenlijk aan de muur zou willen hangen. Hij liet zien dat zelfs het aandeel Berkshire, een van de bekendste kwaliteitsbedrijven van Amerika, vier keer flink onderuit ging.

Periode	Hoogste koers	Laagste koers	Daling
Maart 1973 tot januari 1975	$93	$38	59,1%
Oktober 1987	$4.250	$2.675	37,1%
Juni 1998 tot maart 2000	$80.900	$41.300	48,9%
September 2008 tot maart 2009	$147.000	$72.400	50,7%

Buffett trok daar zelf een heldere conclusie uit. Hij schreef dat deze tabel het sterkste argument is dat hij kan bedenken tegen het gebruik van geleend geld om aandelen te kopen, omdat je simpelweg niet weet hoe ver koersen in korte tijd kunnen dalen.

Pas dat eens toe op de ondergang van de gokker. Een belegger die in 2008 Berkshire kocht met de helft eigen geld en de helft geleend geld, was na een daling van 50,7% zijn volledige inleg kwijt. Op dat moment maakte het niet meer uit dat Berkshire daarna herstelde en de edge van Buffett intact bleef, want die belegger stond op nul en was uit het spel.

Buffett zei iets vergelijkbaars over het hedgefonds LTCM, dat in 1998 ten onder ging terwijl er twee Nobelprijswinnaars aan boord zaten. Om geld te verdienen dat ze niet hadden en niet nodig hadden, riskeerden ze wat ze wel hadden en wel nodig hadden. Slimmer dan dat kun je gambler's ruin niet samenvatten.

Buffett heeft die les ook in zijn eigen bedrijfsvoering verwerkt. Berkshire houdt al decennia een flinke kaspositie aan en vermijdt grote schulden op holdingniveau. Zijn eigen woorden zijn dat Berkshire nooit afhankelijk wil zijn van de vriendelijkheid van vreemden, zeker niet wanneer de markt instort.

Kijk, en hier zit ook een les voor wie passief een index vasthoudt. De S&P 500 verloor tussen oktober 2007 en maart 2009 ruim de helft van zijn waarde, en wie simpelweg een indexproduct vasthield, zat daar gewoon bij zonder enige bescherming. Veel beleggers hielden het op dat moment niet meer vol en stapten uit, waarmee ze vrijwillig hun eigen absorberende grens kozen.

Een actieve aanpak met vaste regels voor instappen, uitstappen en positiegrootte beperkt juist die diepe dalingen. Kwaliteit kopen helpt ook, en met een helder selectiemodel voor kwaliteitsaandelen verklein je de kans op blijvende schade per bedrijf. Maar zelfs het beste bedrijf beschermt je niet tegen een te grote inzet, dat bewijst Berkshire zelf.

"Een goede strategie met een te grote inzet is een slechte strategie."

Wat kun je nu doen?

Goed, even de draad bij elkaar. Gambler's ruin laat zien dat je kapitaal een random walk is met een absorberende grens op nul. Of je die grens ooit raakt, hangt af van je edge, van de verhouding tussen je winsten en verliezen en van hoeveel je per keer inzet.

Die eerste twee bouw je op met een bewezen strategie. De derde heb je vandaag al volledig in eigen hand. Een paar dingen die het onderzoeken waard zijn.

• Bereken je eigen verwachtingswaarde. Neem je laatste 20 tot 50 transacties en zet je trefpercentage, je gemiddelde winst en je gemiddelde verlies op een rij, zodat je ziet of je belegger A of belegger B bent.
• Onderzoek hoeveel je per positie riskeert. Reken uit wat een reeks van tien verliezen op rij met jouw vermogen zou doen, en kijk of je daar met een gerust hart doorheen komt.
• Kijk eerlijk naar je handelsfrequentie. Zonder aantoonbare edge werkt elke extra transactie tegen je, terwijl de kosten ongemerkt aan je drift knagen.
• Bekijk het college van Tom Leighton. Les 25 van Mathematics for Computer Science staat gratis op MIT OpenCourseWare en geeft je de wiskunde achter dit artikel uit eerste hand.
• Verdiep je in trendvolgen en momentum. Deze strategieën zijn wetenschappelijk onderbouwd en draaien precies om het principe van kleine verliezen nemen en grote winsten laten lopen. Sta je nog aan het begin, dan biedt dit stappenplan voor beginnende beleggers een goede eerste basis.

In mijn boek 10 Stappen Succesvol Beleggen en in de trainingen van Beleggen.com laten we zien hoe je een strategie met een positieve verwachtingswaarde combineert met strakke regels voor positiegrootte en risicobeheer. Niet om elke trade te winnen, maar om lang genoeg in het spel te blijven zodat de drift zijn werk kan doen. Wil je die aanpak in de praktijk zien, dan ben je van harte welkom om eens rond te kijken op Beleggen.com.

Want in het spel dat je echt speelt, wint niet degene die vandaag gelijk heeft. Daar wint degene die morgen nog aan tafel zit.

Bronnen

1. Leighton, T. (2010). Lecture 25, Random Walks. Mathematics for Computer Science (6.042J), Fall 2010. MIT OpenCourseWare.
2. Lehman, E., Leighton, F.T. & Meyer, A.R. Mathematics for Computer Science. Massachusetts Institute of Technology.
3. Malkiel, B.G. (1973). A Random Walk Down Wall Street. W.W. Norton & Company.
4. Lo, A.W. & MacKinlay, A.C. (1999). A Non-Random Walk Down Wall Street. Princeton University Press.
5. Jegadeesh, N. & Titman, S. (1993). Returns to Buying Winners and Selling Losers: Implications for Stock Market Efficiency. The Journal of Finance, 48(1).
6. Moskowitz, T.J., Ooi, Y.H. & Pedersen, L.H. (2012). Time Series Momentum. Journal of Financial Economics, 104(2).
7. Barber, B.M. & Odean, T. (2000). Trading Is Hazardous to Your Wealth: The Common Stock Investment Performance of Individual Investors. The Journal of Finance, 55(2).
8. Shefrin, H. & Statman, M. (1985). The Disposition to Sell Winners Too Early and Ride Losers Too Long: Theory and Evidence. The Journal of Finance, 40(3).
9. Kelly, J.L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4).
10. Thorp, E.O. (1962). Beat the Dealer. Blaisdell Publishing.
11. Buffett, W.E. (2018). Berkshire Hathaway Inc. Letter to Shareholders over 2017.
12. Clason, G.S. (1926). The Richest Man in Babylon.
13. Van Wijk, H. Verdiepingstraining Het spel dat je echt speelt. Beleggen.com.